Abschätzungen für Differentialoperatoren im Halbraum by I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.)

By I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.)

Ungleichungen für Differentialoperatoren spielen eine fundamentale Rolle in der modernen Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Unter den zahlreichen An­ wendungen solcher Ungleichungen, die bei vielen Fragestellungen auftreten und sich durch die Auswahl der Differentialoperatoren und der Randbedingungen, die Anfor­ derungen an den Rand des Gebietes und durch die Normen der jeweils betrachteten Funktionenräume unterscheiden, findet guy Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Fehlerabschätzungen bei der numerischen Approximation von Lösungen und der Restglieder in asymptotischen Formeln sowie Ergebnisse über die Struktur des Spek­ trums. Für allgemeine Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, die in diesem Buch behandelt werden, sind Abschätzungen im L für Funktionen mit kompaktem 2 Träger im betrachteten Gebiet (HÖBMANDEB [22]) in erschöpfender Weise studiert worden. was once aber Abschätzungen bis zum Rand des Gebietes betrifft, so ist dazu noch überaus wenig bekannt. Solche Abschätzungen enthalten die Arbeiten von ABONS- ZAJN[3], AGMON[1] (Koerzivität von Differentialoperatoren und Integro-Differenti- operatoren), SCHECHTEB [43], [44], [45] (hinreichende Bedingungen für die Dominanz im Halbraum) und einige andere Untersuchungen, über die in den Literaturhinweisen zu jedem Kapitel mehr gesagt wird. Gegenstand des vorliegenden Buches sind Abschätzungen für Differentialopera­ toren mit konstanten Koeffizienten im Halbraum. Es werden keinerlei A-priori-Einschränkungen bezüglich des Typs der betrachteten Differentialoperatoren gemacht.

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31) bleibt auch in dem Fall richtig, wenn y> eine Lösung des Gleichungssystems 3> (— — \ Iw = 0 ist. 9 ohne Änderung wiederholen. 7. 40) untersucht. 11 beinhalten die entsprechenden Resultate. 10. 39). 1. S y s t e m e v o n gewöhnlichen Differentialoperatoren Identität Ö(T) T (r]) = ( + wo&et T + T) V und S + - 1 [J> (r» 5 ( t ) - + + die in ( 1 . 3 ) definierten

B e w e i s . Aus der Beziehung ( 1 . 7 ) und den Gleichungen ( 1 . 3 ) ergeben sich T+{t) = = 0 (mod Ji(x)) und S (r) = 0 (mod Jt(t)). Folglich genügt es zu beweisen, daß für alle T, rj e R die Identität + 1 Ö(T) T ( i ? 41) + gilt, wobei T = und S = gelten und G die Matrix ( 1 . 3 9 ) ist. Wir zeigen zunächst, daß für alle t e R und alle g und ff mit 1 5g g 5g ? bzw. 0 5g ff 5g k — 1 die Gleichungen + + 1 g bestehen. Dabei sind die &f = {^(C,)} ( « = 1 , . . , N; q = 1 , . . , I; a = 0 , . .

1 folgt. H i n l ä n g l i c h k e i t . 11) erfüllt ist. E s sei u € C™(R ). 1) genügt. • Wir formulieren das entsprechende Resultat für den Fall N = 0. 1'. 2) definierte Matrix S(£;z) den folgenden Bedingungen genügt: 1. S(£;z) 2. B (£) ll2 = 0 (mod J> (£; z)) für fast alle f e JR»" ; \S(£;z)\

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